Significado
Desahogarse una persona actuando sinceramente o diciendo lo que realmente piensa, sin reprimirse.
Ejemplo
Esta mañana me he encontrado a Margarita y me he despachado a gusto con ella, le he dicho que es una mentirosa, que se meta en sus asuntos y que me deje en paz.
Origen
Despachar tiene muy frecuentemente en español coloquial el significado de solucionar algo pendiente (ya he despachado ese trabajo que me encargaron hace un mes), que es el que ha de entenderse aquí.